Çeltikçi Beldesinin ne zaman kurulduğu kesin olarak bilinmemektedir.Ancak yapılan araştırmalar sonucunda 1691 yılında çıkarılan bir kanunla Sivas bölgesinde göçebe olarak ve oymaklar halinde yaşayan Türkmenlerin batı bölgelerine gönderildikleri tarıma elverişli düz arazilere yerleştirilerek kendilerine ekebilecekleri tarla,koşu hayvanı ve tohum verilerek çiftçilik yapmalarının sağlandığı ve böylelikle yerleşik hayata geçirildikleri Osmanlı arşivlerindeki belgelerde yazılmaktadır.Çeltikçi Beldesini kuran Türkmenler (Manavlar) 1691 tarihinden sonra devletin kanuni zorlaması ile 12 hane olarak Çeltikçiye gelmiş ve burada yerleşerek Çeltikçi Beldesini kurmuşlardır.Çeltikçi halkının ilk kurucularına manav denilmektedir.O tarihlerde yerleşik hayata geçerek ekip diken ve devlete teslim olan Türkmenlere develete teslim olmayarak dağlarda göçebe olarak yaşayan diğer Türkmenler çok kızmışlar “siz artık devlete boyun eğdiniz,yerleşik hayata geçtiniz,çiftçilik yapıyorsunuz,sebze yetiştiriyorsunuz manav oldunuz”demişlerdir.Manavlarda dağlarda göçebe olarak yaşayan Türkmen kardeşlerine “sizde devamlı dağlarda yörüyorsunuz,sizde Yörüksünüz” demişlerdir.Manav ve Yörük adları bu şekilde oluşmuştur.
Osmanlı arşivleri incelendiğinde 1844 yılında Padişah Abdülmecit döneminde yapılan bir sayımda Çeltikçi’nin 2 muhtarı olduğu ve 33 hanede insan yaşadığı tespit edilmiştir.Çeltikçi 93 harbi olarak bilinen 1877-1878 Osmanlı-Rus savaşından sonra balkanlardan ve Kafkaslardan büyük göç almıştır.Bu savaştan sonra 1901 yılına kadar Bulgaristan’ın Tırnova vilayetinin Osmanpazarı(Homurtak) ilçesinin Hırbokka köyünden 70 hane Türk ile 5 hane çingene Çeltikçi’ye gelerek yerleşmişlerdir.Bu göçler sırasında daha önce Kafkasya’dan Romanya’nın Dobruca bölgesine yerleşen 15 hane Çerkez ile 5 hane tatar’da Çeltikçi’ye gelmişlerdir.Balkanlardaki savaş ve karışıklıklardan kaçan ve çeşitli Balkan il ve ilçelerinde yaşayan Türkler ,Arnavutlar ve Boşnaklarda Çeltikçiye gelerek yerleşmişlerdir.Alınanbu göçler sonunda 20.yy. başında yerli manavların ayrı yaşadığı,göçmenlerin ayrı yaşadığı 2 mahalleli ve 2 muhtarı olan 500 haneli bir Çeltikçi oluşmuştur.
Cumhuriyet kurulduğu ilk yıllarda 2 mahalle birleştirilerek köy tek muhtarlık haline gelmiştir.Cumhuriyet döneminde İlkokul 1940 yılında açılmıştır.Türkiye’nin ilk amatör spor kulübü olan Çeltikspor 1957 yılında kurulmuştur.Köy statüsündeki Çeltikçi 1994 yılında yapılan yerel seçimlerle Belediye haline gelmiştir.Çeltikçi Çanakkale savaşlarında 45 adet şehit vermiştir.
Çeltikçi bugün meydanları,caddeleri,parkları ve modern belediye hizmet binası ile çok güzel bir kasaba haline gelmiştir.Son dönemde kurulan S.S.Çeltikçi Beldesi ve Çevre Köyleri Tarımsal Kalkınma Kooperatifi Sezgin TÜRE’nin başkanlığında başarılı hizmetler vermektedir.
Çeltikçi’den değerli devlet adamları ve sanatçılarda yetişmiştir.Fahri GÖRGÜLÜ çeşitli ilçelerde kaymakamlık,Ordu Valiliği ve Emniyet Genel Müdürlüğü yapmıştır.Tiyatro sanatçısı Aydan BURHAN(Temel’in sevgilisi Fadime) Çeltikçi’li bir ailenin kızıdır.Milli Manken Deniz PULAŞ’ın annesi Çeltikçi’lidir.

 2007 Yılında Adrese Dayalı Nüfus Kayıt Sistemine (ADNKS) göre  nüfusumuz 2013´tür.